We establish a stronger symmetry between the numbers of northeast and southeast chains in the context of 01-fillings of moon polyominoes. Let M be a moon polyomino. Consider all the 01-fillings of M in which every row has at most one 1. We introduce four mixed statistics with respect to a bipartition of rows or columns of M. More precisely, let S be a subset of rows of M. For any filling M, the top-mixed (resp. bottom-mixed) statistic α(S; M) (resp. β(S; M)) is the sum of the number of northeast chains whose top (resp. bottom) cell is in S, together with the number of southeast chains whose top (resp. bottom) cell is in the complement of S. Similarly, we define the left-mixed and right-mixed statistics γ(T; M) and δ(T; M), where T is a subset of the columns. Let λ(A; M) be any of these four statistics α(S; M), β(S; M), γ(T; M) and δ(T; M). We show that the joint distribution of the pair (λ(A; M), λ(M/A; M)) is symmetric and independent of the subsets S, T. In particular, the pair of statistics (λ(A;M), λ(M/A; M)) is equidistributed with (se(M),ne(M)), where se(M) and ne(M) are the numbers of southeast chains and northeast chains of M, respectively.
Résumé. Nous établissons une symétrie plus forte entre les nombres de chaînes nord-est et sud-est dans le cadre des remplissages 01 des polyominos lune. Soit M un polyomino lune. Considérez tous les remplissages 01 de M dans lesquels chaque rangée contient au plus un 1. Nous présentons quatre statistiques mixtes sur les bipartitions des rangées et des colonnes de M . Plus précisément, soit S un sous-ensemble de rangées de M. Pour tout remplissage M, la statistique mixte du dessus (resp. du dessous) α(S ; M) (resp. β(S ; M)) est la somme du nombre de chaînes nord-est dont le dessus (resp. le dessous) est dans S, et du nombre de chaînes sud-est dont la cellule supérieure (resp. inférieure) est dans le complément de S. De même, nous définissons les statistiques mixtes à gauche et à droite γ(T ; M) et δ(T; M), où T est un sous-ensemble des colonnes. Soit λ(A ; M) une des quatre statistiques α(S ; M), β(S ; M), γ(T ; M) et δ(T ; M). Nous montrons que la distribution commune des paires (λ(A ; M), λ(M/A ; M)) est symétrique et indépendante des sous-ensembles S, T. En particulier, la paire de statistiques (λ(A ; M), λ(M/A ; M)) est équidistribuée avec (se(M), ne(M)), où se(M) et ne(M) sont les nombres de chaînes sud-est et nord-est de M respectivement.