Motivated by the classical Frobenius problem, we introduce the Frobenius poset on the integers ℤ, that is, for a sub-semigroup Λ of the non-negative integers (ℕ,+), we define the order by n ≤Λ m if m-n ∈Λ. When Λ is generated by two relatively prime integers a and b, we show that the order complex of an interval in the Frobenius poset is either contractible or homotopy equivalent to a sphere. We also show that when Λ is generated by the integers {a,a+d,a+2d,…,a+(a-1)d}, the order complex is homotopy equivalent to a wedge of spheres.
Résumé. Motivé par le problème de Frobenius classique, nous introduisons l'ensemble partiellement ordonné de Frobenius sur les entiers ℤ, c.à.d. que pour un sous-semigroupe Λ de les entiers non-négatifs (ℕ,+) nous définissons l'ordre par n ≤Λ m si m-n ∈Λ. Quand le Λ est engendré par deux nombres a et b, relativement premiers entre eux, noux montrons que le complexe des chaînes d'un intervalle quelquonque dans l'ensemble partiellement ordonné de Frobenius est soit contractible soit homotopiquement équivalent à une sphère. Nous montrons aussi que dans le cas où Λ est engendré par les entiers {a,a+d,a+2d,…,a+(a-1)d}, le complexe des chaînes a le type de homotopie d'un bouquet de sphères.