DMTCS Proceedings, 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010)

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Word equations in a uniquely divisible group

Christopher J. Hillar, Lionel Levine, Darren Rhea


We study equations in groups G with unique m-th roots for each positive integer m. A word equation in two letters is an expression of the form w(X,A) = B, where w is a finite word in the alphabet {X,A}. We think of A,B ∈G as fixed coefficients, and X ∈G as the unknown. Certain word equations, such as XAXAX=B, have solutions in terms of radicals: X = A-1/2(A1/2BA1/2)1/3A-1/2, while others such as X2 A X = B do not. We obtain the first known infinite families of word equations not solvable by radicals, and conjecture a complete classification. To a word w we associate a polynomial Pw ∈ℤ[x,y] in two commuting variables, which factors whenever w is a composition of smaller words. We prove that if Pw(x2,y2) has an absolutely irreducible factor in ℤ[x,y], then the equation w(X,A)=B is not solvable in terms of radicals.
Résumé. Nous étudions des équations dans les groupes G avec les m-th racines uniques pour chaque nombre entier positif m. Une &i;quation de mot dans deux lettres est une expression de la forme w(X, A) = B, où w est un mot fini dans l'alphabet {X, A}. Nous pensons A, B ∈G en tant que coefficients fixes, et X ∈G en tant que inconnu. Certaines équations de mot, telles que XAXAX=B, ont des solutions en termes de radicaux: X = A-1/2(A1/2BA1/2)1/3A-1/2, alors que d'autres tel que X2 A X = B ne font pas. Nous obtenons les familles infinies d'abord connues des équations de mot non solubles par des radicaux, et conjecturons une classification complété. Á un mot w nous associons un polynôme Pw ∈ℤ[x, y] dans deux variables de permutation, qui factorise toutes les fois que w est une composition de plus petits mots. Nous montrons que si Pw(x2, y2) a un facteur absolument irréductible dans ℤ[x, y], alors l'équation w(X, A)=B n'est pas soluble en termes de radicaux.

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